周期字符串(FFT)

描述

传送门:2018 年 “游族杯” 上海市高校程序设计邀请赛暨华东师范大学第十届程序设计竞赛 - Problem H

有两个无限长的字符串 $s$, $t$,周期分别为 $n$, $m$:

周期的定义如下:字符串 $s$ 的周期为 $n$,则字符串 $s$ 满足 $s[1…n]=s[n+1…2n]=s[dn+1…(d+1)n]$, 对于 $d≥0$。其中 $s[i…j]$ 表示 $s$ 从第 $i$ 个字符到第 $j$ 个字符的子串。

现求满足 $1≤i≤k$ 且 $s_i=t_i$ 的 $i$ 的个数。亦即,两个字符串前 $k$ 个位置有多少位置是相等的?

Input

第一行三个整数 $n$,$m$,$k$ ($1≤n,m≤125 512$,$1≤k≤10^{18}$)。

第二行,长度为 $n$ 的字符串 $s$。

第三行,长度为 $m$ 的字符串 $t$。

$s$, $t$ 均由 AGCT 组成。

Example

  • input
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5 4 9
AGCAG
AGCC
  • output
1
5
  • input
1
2
3
5 4 9
AAAAA
AAAA
  • output
1
9

思路

  • 假设$n > m$,用$t$去匹配$s ^ {\infty}$
  • 答案分成两部分:
    • $t$ 与 $s ^ {\infty} [1 … m]$, $s ^ {\infty} [m + 1 … 2m]$…
    • 剩余长度不足$m$的部分(可以直接暴力算)
  • 注意到前者的循环节是$lcm(n, m)$,所以只要预处理出$t$和$ss$在每个位置的匹配数就可以$O(n)$算出一个循环的答案。
  • 那么不足一个循环周期的也可以直接算了。
  • 这个匹配的预处理是个人尽皆知的FFT。

代码

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define clr(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define mp(x, y) make_pair(x, y)
#define pb(x) push_back(x)
#define X first
#define Y second
#define fastin \
ios_base::sync_with_stdio(0); \
cin.tie(0);
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef pair<int, int> PII;
typedef vector<int> VI;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 119 << 23 | 1;
const double eps = 1e-6;

const int N = 1 << 20;
const int G = 3;
int wn[20];
int a[N], b[N], cnt[N];

int Pow(int a, int n, int mod)
{
int t = 1;
for (; n; n >>= 1, a = 1LL * a * a % mod)
if (n & 1) t = 1LL * t * a % mod;
return t;
}

void getwn()
{
for (int i = 0; i < 20; i++) wn[i] = Pow(G, (mod - 1) / (1 << i), mod);
}
void change(int y[], int len)
{
for (int i = 1, j = len / 2; i < len - 1; i++)
{
if (i < j) swap(y[i], y[j]);
int k = len / 2;
while (j >= k) j -= k, k /= 2;
if (j < k) j += k;
}
}
void ntt(int y[], int len, int on)
{
change(y, len);
for (int h = 2, id = 1; h <= len; h <<= 1, id++)
{
for (int j = 0; j < len; j += h)
{
int w = 1;
for (int k = j; k < j + h / 2; k++)
{
int u = y[k] % mod;
int t = 1LL * w * (y[k + h / 2] % mod) % mod;
y[k] = (u + t) % mod, y[k + h / 2] = ((u - t) % mod + mod) % mod;
w = 1LL * w * wn[id] % mod;
}
}
}
if (on == -1)
{
int inv = Pow(len, mod - 2, mod);
for (int i = 1; i < len / 2; i++) swap(y[i], y[len - i]);
for (int i = 0; i < len; i++) y[i] = 1LL * y[i] * inv % mod;
}
}

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("1.in", "r", stdin);
freopen("1.out", "w", stdout);
#endif
getwn();
int n, m;
ll k;
string s, t;
cin >> n >> m >> k >> s >> t;
if (n < m) swap(n, m), swap(s, t);
string dic = "AGCT";
int len = 1;
while (len <= n + m) len <<= 1;
for (auto& c : dic)
{
clr(a, 0), clr(b, 0);
for (int i = 0; i < n; i++) a[i] = s[n - i - 1] == c;
for (int i = 0; i < m; i++) b[i] = t[i] == c;
ntt(a, len, 1), ntt(b, len, 1);
for (int i = 0; i < len; i++) a[i] = (1LL * a[i] * b[i]) % mod;
ntt(a, len, -1);
for (int i = 0; i < n; i++) a[n + i] += a[i];
for (int i = 0; i < n; i++) cnt[i] += a[2 * n - i - 1];
}
ll lcm = 1LL * n * m / __gcd(n, m);
int p = 0;
ll base = 0;
do
{
base += cnt[p];
(p += m) %= n;
} while (p);
ll ans = k / lcm * base;
k %= lcm;
while (k >= m)
{
ans += cnt[p];
(p += m) %= n;
k -= m;
}
for (int i = 0; i < k; i++)
if (s[(p + i) % n] == t[i]) ans++;
cout << ans << endl;
return 0;
}
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